Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{5 x}{x - 2}$ at $(3, 15)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = 15$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x}{x - 2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 2$ .

$5 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{(x - 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$5 \frac{x - 2 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$5 \frac{x - 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{x - 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 \frac{x - 2 - x (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$5 \frac{x - 2 - x \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 \frac{x - 2 - x}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$5 \frac{0 - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.4.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$5 \frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (- \frac{2}{{(x - 2)}^{2}})$

Schritt 1.3.6.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{- 10}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 3$ .

$- \frac{10}{{((3) - 2)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$- \frac{10}{1^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{10}{1}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.2.1

Dividiere $10$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 10$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 10$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 10$ und einen gegebenen Punkt $(3, 15)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (15) = - 10 \cdot (x - (3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 15 = - 10 \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 10 \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 15 = 0 + 0 - 10 \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 15 = - 10 \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 15 = - 10 x - 10 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 3$ .

$y - 15 = - 10 x + 30$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 10 x + 30 + 15$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $30$ und $15$ .

$y = - 10 x + 45$

Schritt 3