Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{2 x}$ at $(32, 8)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 32$ und $y = 8$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.3

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $2^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.10

Kombiniere $2^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.11.1

Bringe $2^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.12

Multipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.12.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.12.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.12.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13

Bestimme die Ableitung bei $x = 32$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(32)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.14

Vereinfache.

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Schritt 1.14.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.14.1.1

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot {(2^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.14.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{5})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.14.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{5 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.14.1.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 1.14.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2} + \frac{5}{2}}}$

Schritt 1.14.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{1 + 5}{2}}}$

Schritt 1.14.1.5

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{1}{2^{\frac{6}{2}}}$

Schritt 1.14.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.14.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}$

Schritt 1.14.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.14.1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}$

Schritt 1.14.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}$

Schritt 1.14.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2^{\frac{3}{1}}}$

Schritt 1.14.1.6.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{1}{2^{3}}$

Schritt 1.14.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{8}$ und einen gegebenen Punkt $(32, 8)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (8) = \frac{1}{8} \cdot (x - (32))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{8} \cdot (x - 32)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 8 = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 32$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $x$ .

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 32$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $8$ aus $- 32$ heraus.

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 (- 4))$

Schritt 2.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 4)$

Schritt 2.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 8 = \frac{x}{8} - 4$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{8} - 4 + 8$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 4$ und $8$ .

$y = \frac{x}{8} + 4$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{8} x + 4$

Schritt 3