Analysis Beispiele

$g (x) = e^{x^{5} - 6 x}$ , $(- 1, e^{5})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = e^{5}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{5} - 6 x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5} - 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5} - 6 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5} - 6 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5} - 6 x$ .

$e^{x^{5} - 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5} - 6 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$e^{x^{5} - 6 x} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$e^{x^{5} - 6 x} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Schritt 1.2.3

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x^{5} - 6 x} (5 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x^{5} - 6 x} (5 x^{4} - 6 \cdot 1)$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$e^{x^{5} - 6 x} (5 x^{4} - 6)$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

$e^{{(- 1)}^{5} - 6 \cdot - 1} (5 {(- 1)}^{4} - 6)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$e^{- 1 - 6 \cdot - 1} (5 {(- 1)}^{4} - 6)$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$e^{- 1 + 6} (5 {(- 1)}^{4} - 6)$

Schritt 1.4.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$e^{5} (5 {(- 1)}^{4} - 6)$

Schritt 1.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$e^{5} (5 \cdot 1 - 6)$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$e^{5} (5 - 6)$

Schritt 1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.4.1

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$e^{5} \cdot - 1$

Schritt 1.4.4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{5}$ .

$- 1 \cdot e^{5}$

Schritt 1.4.4.3

Schreibe $- 1 e^{5}$ als $- e^{5}$ um.

$- e^{5}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- e^{5}$ und einen gegebenen Punkt $(- 1, e^{5})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (e^{5}) = - e^{5} \cdot (x - (- 1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - e^{5} = - e^{5} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- e^{5} \cdot (x + 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - e^{5} = 0 + 0 - e^{5} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - e^{5} = - e^{5} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - e^{5} = - e^{5} x - e^{5} \cdot 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y - e^{5} = - e^{5} x - e^{5}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $e^{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - e^{5} x - e^{5} + e^{5}$

Schritt 2.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- e^{5} x - e^{5} + e^{5}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Addiere $- e^{5}$ und $e^{5}$ .

$y = - e^{5} x + 0$

Schritt 2.3.2.2.2

Addiere $- e^{5} x$ und $0$ .

$y = - e^{5} x$

Schritt 3