Analysis Beispiele

$y = e^{5 x}$ at $x = \frac{1}{5} \ln (3)$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = \frac{1}{5} \cdot \ln (3)$ .

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Schritt 1.1

Setze $\frac{1}{5} \cdot \ln (3)$ für $x$ ein.

$y = e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (3))}$

Schritt 1.2

Vereinfache $e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (3))}$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $\frac{1}{5} \ln (3)$ , indem du $\frac{1}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = e^{5 \ln (3^{\frac{1}{5}})}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $5 \ln (3^{\frac{1}{5}})$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$y = e^{\ln ({(3^{\frac{1}{5}})}^{5})}$

Schritt 1.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$y = {(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 1.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3^{1}$

Schritt 1.2.5

Berechne den Exponenten.

$y = 3$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{1}{5} \ln (3)$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{5 x} (5 \cdot 1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$e^{5 x} \cdot 5$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x}$ .

$5 e^{5 x}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{1}{5} \cdot \ln (3)$ .

$5 e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (3))}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $\frac{1}{5} \ln (3)$ , indem du $\frac{1}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$5 e^{5 \ln (3^{\frac{1}{5}})}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $5 \ln (3^{\frac{1}{5}})$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$5 e^{\ln ({(3^{\frac{1}{5}})}^{5})}$

Schritt 2.4.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$5 {(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Schritt 2.4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 2.4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 2.4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \cdot 3^{1}$

Schritt 2.4.5

Berechne den Exponenten.

$5 \cdot 3$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $15$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{1}{5} \cdot \ln (3), 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = 15 \cdot (x - (\frac{1}{5} \cdot \ln (3)))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = 15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 + 15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 3 = 15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = 15 x + 15 (- \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $15 (- \ln (3^{\frac{1}{5}}))$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$y - 3 = 15 x - 15 \ln (3^{\frac{1}{5}})$

Schritt 3.3.1.4.2

Vereinfache $- 15 \ln (3^{\frac{1}{5}})$ , indem du $15$ in den Logarithmus ziehst.

$y - 3 = 15 x - \ln ({(3^{\frac{1}{5}})}^{15})$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{1}{5}})}^{15}$ .

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Schritt 3.3.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{\frac{1}{5} \cdot 15})$

Schritt 3.3.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.5.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{\frac{1}{5} \cdot (5 (3))})$

Schritt 3.3.1.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 3)})$

Schritt 3.3.1.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{3})$

Schritt 3.3.1.5.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y - 3 = 15 x - \ln (27)$

Schritt 3.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 15 x - \ln (27) + 3$

Schritt 4