Analysis Beispiele

$y = \frac{e^{8 x}}{x}$ , $(\frac{1}{8}, 8 e)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{1}{8}$ und $y = 8 e$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{8 x}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{8 x}] - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$\frac{x (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (e^{8 x} (8 \cdot 1)) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{x (e^{8 x} \cdot 8) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $e^{8 x}$ .

$\frac{x (8 \cdot e^{8 x}) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (8 e^{8 x}) - e^{8 x} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (8 e^{8 x}) - e^{8 x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8 x e^{8 x} - e^{8 x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{8 e^{8 x} x - e^{8 x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $e^{8 x}$ aus $8 e^{8 x} x - e^{8 x}$ heraus.

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $e^{8 x}$ aus $8 e^{8 x} x$ heraus.

$\frac{e^{8 x} (8 x) - e^{8 x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.3.2

Faktorisiere $e^{8 x}$ aus $- e^{8 x}$ heraus.

$\frac{e^{8 x} (8 x) + e^{8 x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.3.3

Faktorisiere $e^{8 x}$ aus $e^{8 x} (8 x) + e^{8 x} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{e^{8 x} (8 x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{1}{8}$ .

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (8 (\frac{1}{8}) - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (8 (\frac{1}{8}) - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (1 - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{1} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.4

Vereinfache.

$\frac{e \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{8}$ an.

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1^{2}}{8^{2}}}$

Schritt 1.6.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{8^{2}}}$

Schritt 1.6.2.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{64}}$

Schritt 1.6.3

Mutltipliziere $e$ mit $0$ .

$\frac{0}{\frac{1}{64}}$

Schritt 1.6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$0 \cdot 64$

Schritt 1.6.5

Mutltipliziere $0$ mit $64$ .

$0$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $0$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{1}{8}, 8 e)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (8 e) = 0 \cdot (x - (\frac{1}{8}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 8 e = 0 \cdot (x - \frac{1}{8})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x - \frac{1}{8}$ .

$y - 8 e = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $8 e$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 8 e$

Schritt 3