Analysis Beispiele

$2 x^{2} + y^{3} = 5 y + 3 x$ , $(2, 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 y + 3 x)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x + 3 y^{2} y'$

Schritt 1.2.4

Stelle die Terme um.

$3 y^{2} y' + 4 x$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 y + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

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Schritt 1.3.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 y' + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y' + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 y' + 3 \cdot 1$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$5 y' + 3$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 y^{2} y' + 4 x = 5 y' + 3$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $5 y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' + 4 x - 5 y' = 3$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - 5 y' = 3 - 4 x$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y' - 5 y'$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) - 5 y' = 3 - 4 x$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 5 y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5 = 3 - 4 x$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5$ heraus.

$y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$

Schritt 1.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ durch $3 y^{2} - 5$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ durch $3 y^{2} - 5$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{2} - 5$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Schritt 1.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} - \frac{4 x}{3 y^{2} - 5}$

Schritt 1.5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = 2$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 y^{2} - 5}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $2$ .

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 {(2)}^{2} - 5}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{3 - 8}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

Schritt 1.7.3.2

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 4 - 5}$

Schritt 1.7.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{- 5}{12 - 5}$

Schritt 1.7.4.3

Subtrahiere $5$ von $12$ .

$\frac{- 5}{7}$

Schritt 1.7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{7}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{5}{7}$ und einen gegebenen Punkt $(2, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = - \frac{5}{7} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = - \frac{5}{7} x - \frac{5}{7} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} - \frac{5}{7} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- \frac{5}{7} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + 2 (\frac{5}{7})$

Schritt 2.3.1.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{2 \cdot 5}{7}$

Schritt 2.3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{10}{7}$

Schritt 2.3.1.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 2 = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2$

Schritt 2.3.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 2 \cdot 7}{7}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 14}{7}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $10$ und $14$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{24}{7}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{5}{7} x) + \frac{24}{7}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{5}{7} x + \frac{24}{7}$

Schritt 3