Analysis Beispiele

$f (x) = - 3 \cos (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

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Schritt 1.1

Setze $\frac{3}{4} \cdot π$ für $x$ ein.

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $- 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $π$ .

$y = - 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 1.2.2.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$y = - 3 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Schritt 1.2.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 1.2.2.4

Multipliziere $- 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 1.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y = 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.2.4.2

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{3}{4} π$ und $y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 3 (- \sin (x))$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$3 \sin (x)$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

$3 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $π$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{4})$

Schritt 2.5.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$3 \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.5.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.5.4

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{3}{4} \cdot π, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ und $x$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{3 π}{4}$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} (3 π)}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8}$

Schritt 3.3.2

Addiere $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Um $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Schritt 3.3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 12 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 \sqrt{2} π$ heraus.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) + 12 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $12 \sqrt{2}$ heraus.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})}{8}$

Schritt 3.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})$ heraus.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

Schritt 3.3.3.8

Schreibe $- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ als $- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ um.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

Schritt 3.3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3.3.3.10

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 4