Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} {(3 - x)}^{4}$ ; $x = 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $2$ für $x$ ein.

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache ${(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = 8 {(3 - (2))}^{4}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 8 {(3 - 2)}^{4}$

Schritt 1.2.3.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$y = 8 \cdot 1^{4}$

Schritt 1.2.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 8 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$y = 8$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 8$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = {(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{4}] + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 3 - x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 - x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 - x$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \cdot 1) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} (3 x^{2})$

Schritt 2.3.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 \cdot {(3 - x)}^{4} x^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ aus $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ aus $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3})$ heraus.

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ aus $3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ heraus.

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ aus $x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$ heraus.

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4) + 3 (3 - x))$

Schritt 2.4.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (- 4 x + 3 (3 - x))$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

${(2)}^{2} {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 {(3 - 2)}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$4 \cdot 1^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Schritt 2.6.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot 1 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Schritt 2.6.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Schritt 2.6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - (2)))$

Schritt 2.6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - 2))$

Schritt 2.6.2.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$4 (- 8 + 3 \cdot 1)$

Schritt 2.6.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 (- 8 + 3)$

Schritt 2.6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.3.1

Addiere $- 8$ und $3$ .

$4 \cdot - 5$

Schritt 2.6.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$- 20$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 20$ und einen gegebenen Punkt $(2, 8)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (8) = - 20 \cdot (x - (2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 20 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 8 = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 8 = - 20 x - 20 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 2$ .

$y - 8 = - 20 x + 40$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 20 x + 40 + 8$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $40$ und $8$ .

$y = - 20 x + 48$

Schritt 4