Analysis Beispiele

$y = - 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ ; $(1, - 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = - 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.3.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.4.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- x^{- 2})$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1.5.3

Stelle die Terme um.

$- 9 x^{2} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- 9 {(1)}^{2} - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 9 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.7.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$- 9 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.7.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 9 - \frac{2}{1} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.7.1.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- 9 - 1 \cdot 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.7.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 1.7.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 1.7.2.1

Schreibe $- 9$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 9}{1} - 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 1.7.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 9}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 1.7.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 9}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 1.7.2.4

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} - \frac{1}{2}$

Schritt 1.7.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 1.7.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 1.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 9 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{- 18 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 1.7.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 18 - 4 - 1}{2}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.5.1

Subtrahiere $4$ von $- 18$ .

$\frac{- 22 - 1}{2}$

Schritt 1.7.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 22$ .

$\frac{- 23}{2}$

Schritt 1.7.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{23}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{23}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(1, - 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 2) = - \frac{23}{2} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 2 = 0 + 0 - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 2 = - \frac{23}{2} x - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{23}{2}$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- \frac{23}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + 1 (\frac{23}{2})$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{23}{2}$ mit $1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + \frac{23}{2}$

Schritt 2.3.1.6

Bringe $23$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + 2 = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2$

Schritt 2.3.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 4}{2}$

Schritt 2.3.2.5.2

Subtrahiere $4$ von $23$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{19}{2}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{23}{2} x) + \frac{19}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{23}{2} x + \frac{19}{2}$

Schritt 3