Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$ at the point where $x = 4$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 4$ .

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Schritt 1.1

Setze $4$ für $x$ ein.

$y = \sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Vereinfache $\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$ .

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Schritt 1.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$y = \sqrt{25 - 16}$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $16$ von $25$ .

$y = \sqrt{9}$

Schritt 1.2.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 3$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{25 - x^{2}}$ als ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 25 - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $25 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.9

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Schritt 2.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Schritt 2.13.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 2.13.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.16

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$- \frac{4}{{(25 - {(4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.17

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.17.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{4}{{(25 - 1 \cdot 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.17.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$- \frac{4}{{(25 - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.17.2

Subtrahiere $16$ von $25$ .

$- \frac{4}{9^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.17.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{4}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.17.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 2.17.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.17.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 2.17.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4}{3^{1}}$

Schritt 2.17.6

Berechne den Exponenten.

$- \frac{4}{3}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{4}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(4, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (4))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $- \frac{4}{3} \cdot - 4$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 (\frac{4}{3})$

Schritt 3.3.1.5.2

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{4 \cdot 4}{3}$

Schritt 3.3.1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{16}{3}$

Schritt 3.3.1.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3$

Schritt 3.3.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 3 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 9}{3}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $16$ und $9$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{25}{3}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{25}{3}$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}$

Schritt 4