Analysis Beispiele

$16 x^{3} + y^{3} = 3$ , $(2, - 5)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = - 5$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (16 x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{3} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{3}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$48 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$48 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$48 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Schritt 1.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$48 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $48 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$ durch $3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$ durch $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 48$ und $3$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 48 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 y^{2}}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 (y^{2})}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 y^{2}}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 16 x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{16 x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = - 5$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$- \frac{16 {(2)}^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $- 5$ .

$- \frac{16 {(2)}^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$- \frac{2^{4} \cdot 2^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

Schritt 1.7.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2^{4 + 2}}{{(- 5)}^{2}}$

Schritt 1.7.3.3

Addiere $4$ und $2$ .

$- \frac{2^{6}}{{(- 5)}^{2}}$

Schritt 1.7.4

Berechne die Exponenten.

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Schritt 1.7.4.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$- \frac{2^{6}}{25}$

Schritt 1.7.4.2

Potenziere $2$ mit $6$ .

$- \frac{64}{25}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{64}{25}$ und einen gegebenen Punkt $(2, - 5)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 5) = - \frac{64}{25} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 5 = - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 5 = 0 + 0 - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 5 = - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 5 = - \frac{64}{25} x - \frac{64}{25} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{64}{25}$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} - \frac{64}{25} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- \frac{64}{25} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + 2 (\frac{64}{25})$

Schritt 2.3.1.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{64}{25}$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + \frac{2 \cdot 64}{25}$

Schritt 2.3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + \frac{128}{25}$

Schritt 2.3.1.6

Bringe $64$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + 5 = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} - 5$

Schritt 2.3.2.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} - 5 \cdot \frac{25}{25}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} + \frac{- 5 \cdot 25}{25}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128 - 5 \cdot 25}{25}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $25$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128 - 125}{25}$

Schritt 2.3.2.5.2

Subtrahiere $125$ von $128$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{3}{25}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{64}{25} x) + \frac{3}{25}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{64}{25} x + \frac{3}{25}$

Schritt 3