Analysis Beispiele

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ at the point $(4, - \frac{43}{4})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = - \frac{43}{4}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.11

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.3.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + 0$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.3

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$- \frac{1}{{(4)}^{2}} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.6.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.6.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{1}}$

Schritt 1.6.1.2.4

Berechne den Exponenten.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

Schritt 1.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

Schritt 1.6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{16} - 1$

Schritt 1.6.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 1.6.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Schritt 1.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 - 1 \cdot 16}{16}$

Schritt 1.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{- 1 - 16}{16}$

Schritt 1.6.5.2

Subtrahiere $16$ von $- 1$ .

$\frac{- 17}{16}$

Schritt 1.6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{17}{16}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{17}{16}$ und einen gegebenen Punkt $(4, - \frac{43}{4})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- \frac{43}{4}) = - \frac{17}{16} \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + \frac{43}{4} = 0 + 0 - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} x - \frac{17}{16} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{17}{16}$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} - \frac{17}{16} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{17}{16}$ in den Zähler.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{16} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 (4)} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.2.4

Kombiniere $\frac{- 17}{4}$ und $- 1$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17 \cdot - 1}{4}$

Schritt 2.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 17$ mit $- 1$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{17}{4}$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $17$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $\frac{43}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4} - \frac{43}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{17 - 43}{4}$

Schritt 2.3.2.3

Subtrahiere $43$ von $17$ .

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

Schritt 2.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 26$ und $4$ .

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Schritt 2.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 26$ heraus.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 (- 13)}{4}$

Schritt 2.3.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 13}{2}$

Schritt 2.3.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{17 x}{16} - \frac{13}{2}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{17}{16} x) - \frac{13}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{17}{16} x - \frac{13}{2}$

Schritt 3