Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{x^{3}}$ , $(1, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Schritt 1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{3}{1}$

Schritt 1.5.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 3$ und einen gegebenen Punkt $(1, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - 3 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 3 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - 3 x - 3 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - 3 x + 3$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 3 x + 3 + 1$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$y = - 3 x + 4$

Schritt 3