Analysis Beispiele

$y = x e^{- x^{2}}$ , $(0, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $e^{- x^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.1

Stelle die Terme um.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Schritt 1.10.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ um.

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Schritt 1.11

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$- 2 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 1.12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.12.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 2 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 1.12.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 1.12.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 e^{- 0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 1.12.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 e^{0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 1.12.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 \cdot 1 + e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 1.12.1.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 + e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 1.12.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + e^{- 0}$

Schritt 1.12.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + e^{0}$

Schritt 1.12.1.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 1$

Schritt 1.12.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(0, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $1 \cdot (x + 0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $x + 0$ mit $1$ .

$y = x + 0$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$y = x$

Schritt 3