Analysis Beispiele

$y = 6 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{6}$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \sin (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$6 \cos (x)$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{6}$ .

$6 \cos (\frac{π}{6})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 (3) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \sqrt{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $3 \sqrt{3}$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{6}, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = 3 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 + 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{6}$

Schritt 2.3.1.2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 (\sqrt{3}) \frac{- π}{6}$

Schritt 2.3.1.2.2.3

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 (\sqrt{3}) \frac{- π}{3 (2)}$

Schritt 2.3.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.2.5

Forme den Ausdruck um.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \frac{- π}{2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{- π}{2}$ .

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + \frac{\sqrt{3} (- π)}{2}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π}{2}$

Schritt 2.3.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{2}$

Schritt 2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{2} + 3$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 6}{2}$

Schritt 2.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{3} π$ heraus.

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) + 6}{2}$

Schritt 2.3.3.6

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)}{2}$

Schritt 2.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)$ heraus.

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π - 6)}{2}$

Schritt 2.3.3.8

Schreibe $- (\sqrt{3} π - 6)$ als $- 1 (\sqrt{3} π - 6)$ um.

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (\sqrt{3} π - 6)}{2}$

Schritt 2.3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π - 6}{2}$

Schritt 3