Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 10 x^{2} + 9$ ; $x = - 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = - 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $- 2$ für $x$ ein.

$y = {(- 2)}^{4} - 10 {(- 2)}^{2} + 9$

Schritt 1.2

Vereinfache ${(- 2)}^{4} - 10 {(- 2)}^{2} + 9$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$y = 16 - 10 {(- 2)}^{2} + 9$

Schritt 1.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = 16 - 10 \cdot 4 + 9$

Schritt 1.2.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $4$ .

$y = 16 - 40 + 9$

Schritt 1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $40$ von $16$ .

$y = - 24 + 9$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $- 24$ und $9$ .

$y = - 15$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 2$ und $y = - 15$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 10 x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$4 x^{3} - 20 x + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 20 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4 x^{3} - 20 x$ und $0$ .

$4 x^{3} - 20 x$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - 2$ .

$4 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$4 \cdot - 8 - 20 \cdot - 2$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$- 32 - 20 \cdot - 2$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 2$ .

$- 32 + 40$

Schritt 2.5.2

Addiere $- 32$ und $40$ .

$8$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $8$ und einen gegebenen Punkt $(- 2, - 15)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 15) = 8 \cdot (x - (- 2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 15 = 8 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $8 \cdot (x + 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + 15 = 0 + 0 + 8 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 15 = 8 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 15 = 8 x + 8 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$y + 15 = 8 x + 16$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 8 x + 16 - 15$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $15$ von $16$ .

$y = 8 x + 1$

Schritt 4