Analysis Beispiele

$y = \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ , $(π, - 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = π$ und $y = - 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.8

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.9

Multipliziere.

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Schritt 1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.9.2

Mutltipliziere $1 + \sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.10.2.1.1

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.10.2.1.2

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 1.10.2.1.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.10.2.1.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.10.2.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.10.2.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.10.2.2

Bewege $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.10.2.3

Ordne Terme um.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.10.2.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.11

Bestimme die Ableitung bei $x = π$ .

$\frac{1 + \sin (π)}{\cos^{2} (π)}$

Schritt 1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1 + \sin (0)}{\cos^{2} (π)}$

Schritt 1.12.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1 + 0}{\cos^{2} (π)}$

Schritt 1.12.1.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (π)}$

Schritt 1.12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.12.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1}{{(- \cos (0))}^{2}}$

Schritt 1.12.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{{(- 1 \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 1.12.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 1.12.2.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 1.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.12.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1}$

Schritt 1.12.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(π, - 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (π))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 1 = 1 \cdot (x - π)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $x - π$ mit $1$ .

$y + 1 = x - π$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x - π - 1$

Schritt 3