Analysis Beispiele

$x^{2} = y^{3}$ ; $(64, 16)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 64$ und $y = 16$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y'$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x = 3 y^{2} y'$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Schreibe die Gleichung als $3 y^{2} y' = 2 x$ um.

$3 y^{2} y' = 2 x$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' = 2 x$ durch $3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' = 2 x$ durch $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 64$ und $y = 16$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $64$ .

$\frac{2 (64)}{3 y^{2}}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $16$ .

$\frac{2 (64)}{3 {(16)}^{2}}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{128}{3 \cdot 16^{2}}$

Schritt 1.7.3.2

Potenziere $16$ mit $2$ .

$\frac{128}{3 \cdot 256}$

Schritt 1.7.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $256$ .

$\frac{128}{768}$

Schritt 1.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $128$ und $768$ .

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Schritt 1.7.4.1

Faktorisiere $128$ aus $128$ heraus.

$\frac{128 (1)}{768}$

Schritt 1.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.2.1

Faktorisiere $128$ aus $768$ heraus.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

Schritt 1.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

Schritt 1.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{6}$ und einen gegebenen Punkt $(64, 16)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (16) = \frac{1}{6} \cdot (x - (64))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{6} \cdot (x - 64)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 16 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 16 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 (3)} \cdot - 64$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 64$ heraus.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3} \cdot - 32$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 32$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{- 32}{3}$

Schritt 2.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 16 = \frac{x}{6} - \frac{32}{3}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16$

Schritt 2.3.2.2

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $16$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 16 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 48}{3}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 32$ und $48$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{16}{3}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{16}{3}$

Schritt 3