Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{2}$ ; $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 {(3 - (1))}^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere ${(3 - (1))}^{2}$ mit $1$ .

$y = {(3 - (1))}^{2}$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = {(3 - 1)}^{2}$

Schritt 1.2.3.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$y = 2^{2}$

Schritt 1.2.3.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 4$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(3 - x)}^{2}$ als $(3 - x) (3 - x)$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((3 - x) (3 - x))]$

Schritt 2.2

Multipliziere $(3 - x) (3 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 (3 - x) - x (3 - x))]$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x))]$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x))]$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - x (- x))]$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2})]$

Schritt 2.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + x^{2})]$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 6 x + x^{2})]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [9 - 6 x + x^{2}] + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - 6 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.5.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.5.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.5.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$x^{4} (- 6 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) (4 x^{3})$

Schritt 2.5.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + 4 \cdot (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + (4 \cdot 9 + 4 (- 6 x) + 4 x^{2}) x^{3}$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Schritt 2.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.4.1

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$- 6 \cdot x^{4} + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Schritt 2.6.4.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.4.2.1

Bewege $x$ .

$- 6 x^{4} + x \cdot x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Schritt 2.6.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 2.6.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 6 x^{4} + x^{1} x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Schritt 2.6.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 6 x^{4} + x^{1 + 4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Schritt 2.6.4.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$- 6 x^{4} + x^{5} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Schritt 2.6.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$- 6 x^{4} + 2 \cdot x^{5} + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Schritt 2.6.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Schritt 2.6.4.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x \cdot x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Schritt 2.6.4.6

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.4.6.1

Bewege $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x) + 4 x^{2} x^{3}$

Schritt 2.6.4.6.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 2.6.4.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 x^{2} x^{3}$

Schritt 2.6.4.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{3 + 1} + 4 x^{2} x^{3}$

Schritt 2.6.4.6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{2} x^{3}$

Schritt 2.6.4.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.4.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2})$

Schritt 2.6.4.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2}$

Schritt 2.6.4.7.3

Addiere $3$ und $2$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{5}$

Schritt 2.6.4.8

Subtrahiere $24 x^{4}$ von $- 6 x^{4}$ .

$- 30 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 x^{5}$

Schritt 2.6.4.9

Addiere $2 x^{5}$ und $4 x^{5}$ .

$- 30 x^{4} + 6 x^{5} + 36 x^{3}$

Schritt 2.6.5

Stelle die Terme um.

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$

Schritt 2.7

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$6 {(1)}^{5} - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 \cdot 1 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Schritt 2.8.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 - 30 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3}$

Schritt 2.8.1.4

Mutltipliziere $- 30$ mit $1$ .

$6 - 30 + 36 {(1)}^{3}$

Schritt 2.8.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 - 30 + 36 \cdot 1$

Schritt 2.8.1.6

Mutltipliziere $36$ mit $1$ .

$6 - 30 + 36$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Subtrahiere $30$ von $6$ .

$- 24 + 36$

Schritt 2.8.2.2

Addiere $- 24$ und $36$ .

$12$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $12$ und einen gegebenen Punkt $(1, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = 12 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $12 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 4 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 4 = 12 x + 12 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$y - 4 = 12 x - 12$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 12 x - 12 + 4$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 12$ und $4$ .

$y = 12 x - 8$

Schritt 4