Analysis Beispiele

$y^{2} (y^{2} - 4) = x^{2} (x^{2} - 5)$ , $(0, - 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = - 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2} (y^{2} - 4)) = \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 5))$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y^{2}$ und $g (x) = y^{2} - 4$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [y^{2} - 4] + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$y^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y^{2} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y^{2} (2 y y' + 0) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.6

Addiere $2 y y'$ und $0$ .

$y^{2} (2 y y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.7

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.7.1

Bewege $y$ .

$y \cdot y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{1} y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{1 + 2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2} - 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 \cdot (y^{2} - 4) y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.10

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{2} - 4) y y'$

Schritt 1.2.11

Vereinfache.

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Schritt 1.2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} + 2 \cdot - 4) y y'$

Schritt 1.2.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} y + 2 \cdot - 4 y) y'$

Schritt 1.2.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{2} y y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Schritt 1.2.11.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.2.11.4.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{1} y^{2}) y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Schritt 1.2.11.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{1 + 2} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Schritt 1.2.11.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Schritt 1.2.11.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Schritt 1.2.11.4.5

Addiere $y^{3} (2 y')$ und $2 y^{3} y'$ .

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Schritt 1.2.11.4.5.1

Stelle $y^{3}$ und $2$ um.

$2 \cdot y^{3} y' + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Schritt 1.2.11.4.5.2

Addiere $2 \cdot y^{3} y'$ und $2 y^{3} y'$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 5$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere.

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Schritt 1.3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$x^{2} (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.3.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{3} + (x^{2} - 5) (2 x)$

Schritt 1.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 5$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot (x^{2} - 5) x$

Schritt 1.3.7

Vereinfache.

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Schritt 1.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 5) x$

Schritt 1.3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 5 x$

Schritt 1.3.7.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.7.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 5 x$

Schritt 1.3.7.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 5 x$

Schritt 1.3.7.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 5 x$

Schritt 1.3.7.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} - 10 x$

Schritt 1.3.7.3.5

Addiere $2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 10 x$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $4 y y'$ aus $4 y^{3} y' - 8 y y'$ heraus.

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $4 y y'$ aus $4 y^{3} y'$ heraus.

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere $4 y y'$ aus $- 8 y y'$ heraus.

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 10 x$

Schritt 1.5.1.3

Faktorisiere $4 y y'$ aus $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ heraus.

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ durch $4 y (y^{2} - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ durch $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 2$ .

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Schritt 1.5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $4$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x$ heraus.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y (y^{2} - 2)$ heraus.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 0$ und $y = - 2$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$\frac{{(0)}^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 (0)}{2 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $- 2$ .

$\frac{{(0)}^{3}}{(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{- 2 ({(- 2)}^{2} - 2)} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{0}{- 2 (4 - 2)} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{0}{- 2 \cdot 2} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{0}{- 4} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.4

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$0 - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 1.7.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $5 (0)$ heraus.

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)$ heraus.

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 ((- 2) ({(- 2)}^{2} - 2))}$

Schritt 1.7.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 ((- 2) ({(- 2)}^{2} - 2))}$

Schritt 1.7.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 - \frac{5 \cdot (0)}{(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $- 2$ .

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Schritt 1.7.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $5 \cdot (0)$ heraus.

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)$ heraus.

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 (- ({(- 2)}^{2} - 2))}$

Schritt 1.7.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 (- ({(- 2)}^{2} - 2))}$

Schritt 1.7.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 - \frac{5 \cdot (0)}{- ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.7

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$0 - \frac{0}{- ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.3.8.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$0 - \frac{0}{- (4 - 2)}$

Schritt 1.7.3.8.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$0 - \frac{0}{- 1 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 - \frac{0}{- 2}$

Schritt 1.7.3.10

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$0 - 0$

Schritt 1.7.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 1.7.4

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $0$ und einen gegebenen Punkt $(0, - 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 2) = 0 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 2 = 0 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $0 \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y + 2 = 0 \cdot x$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$y + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2$

Schritt 3