Analysis Beispiele

$f (x) = - 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ at $x = - \frac{π}{4}$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 1.1

Setze $- \frac{π}{4}$ für $x$ ein.

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $- 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$ .

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$y = - 5 \cot (\frac{7 π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Schritt 1.2.2.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kotangens im vierten Quadranten negativ ist.

$y = - 5 (- \cot (\frac{π}{4})) - \frac{5 π}{2} - 4$

Schritt 1.2.2.1.3

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$y = - 5 (- 1 \cdot 1) - \frac{5 π}{2} - 4$

Schritt 1.2.2.1.4

Multipliziere $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 1.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - 5 \cdot - 1 - \frac{5 π}{2} - 4$

Schritt 1.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$y = 5 - \frac{5 π}{2} - 4$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$y = 1 - \frac{5 π}{2}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - \frac{π}{4}$ und $y = 1 - \frac{5 π}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 \cot (x)$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$- 5 (- \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$5 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{5 π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5 π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + 0$

Schritt 2.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1

Addiere $5 \csc^{2} (x)$ und $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $5 \csc^{2} (x)$ und $0$ .

$5 \csc^{2} (x)$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = - \frac{π}{4}$ .

$5 \csc^{2} (- \frac{π}{4})$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$5 \csc^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 2.6.2

$5 {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Schritt 2.6.3

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$5 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.4.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Schritt 2.6.4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$5 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Schritt 2.6.4.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$5 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 2.6.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.6.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.6.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \cdot 2^{1}$

Schritt 2.6.5.5

Berechne den Exponenten.

$5 \cdot 2$

Schritt 2.6.6

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $10$ und einen gegebenen Punkt $(- \frac{π}{4}, 1 - \frac{5 π}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1 - \frac{5 π}{2}) = 10 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $10 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 0 + 0 + 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 10 \frac{π}{4}$

Schritt 3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 (5) \frac{π}{4}$

Schritt 3.3.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 5 \frac{π}{2}$

Schritt 3.3.1.5

Kombiniere $5$ und $\frac{π}{2}$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $\frac{5 π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 10 x + \frac{5 π - 5 π}{2} + 1$

Schritt 3.3.2.3.2

Subtrahiere $5 π$ von $5 π$ .

$y = 10 x + \frac{0}{2} + 1$

Schritt 3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y = 10 x + 0 + 1$

Schritt 3.3.2.5

Addiere $10 x$ und $0$ .

$y = 10 x + 1$

Schritt 4