Analysis Beispiele

$f (x) = - x^{3} + 4 x - 2$ at $x = - 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = - 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $- 2$ für $x$ ein.

$y = - {(- 2)}^{3} + 4 (- 2) - 2$

Schritt 1.2

Vereinfache $- {(- 2)}^{3} + 4 (- 2) - 2$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$y = - - 8 + 4 (- 2) - 2$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = 8 + 4 (- 2) - 2$

Schritt 1.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$y = 8 - 8 - 2$

Schritt 1.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$y = 0 - 2$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$y = - 2$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 2$ und $y = - 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} + 4 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 3 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + 4 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $- 3 x^{2} + 4$ und $0$ .

$- 3 x^{2} + 4$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = - 2$ .

$- 3 {(- 2)}^{2} + 4$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 3 \cdot 4 + 4$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$- 12 + 4$

Schritt 2.6.2

Addiere $- 12$ und $4$ .

$- 8$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 8$ und einen gegebenen Punkt $(- 2, - 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 2) = - 8 \cdot (x - (- 2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 2 = - 8 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 8 \cdot (x + 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + 2 = 0 + 0 - 8 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 2 = - 8 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 2 = - 8 x - 8 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$y + 2 = - 8 x - 16$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 8 x - 16 - 2$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 16$ .

$y = - 8 x - 18$

Schritt 4