Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x}$ , $x = \frac{1}{9}$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = \frac{1}{9}$ .

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Schritt 1.1

Setze $\frac{1}{9}$ für $x$ ein.

$y = \sqrt{\frac{1}{9}}$

Schritt 1.2

Vereinfache $\sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \sqrt{\frac{1}{9}}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{9}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ um.

$y = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Schritt 1.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{9}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 1.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{1}{9}$ und $y = \frac{1}{3}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.9

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{1}{9})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{9}$ an.

$\frac{1}{2 \frac{1^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.10.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2 \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.10.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.1.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{2 \frac{1}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.10.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Schritt 2.10.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.10.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Schritt 2.10.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 \frac{1}{3^{1}}}$

Schritt 2.10.1.3.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.10.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.10.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{3}{2})$

Schritt 2.10.4

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\frac{3}{2}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{3}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{1}{9}, \frac{1}{3})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{3}{2} \cdot (x - (\frac{1}{9}))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot (x - \frac{1}{9})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot (x - \frac{1}{9})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{3} = 0 + 0 + \frac{3}{2} \cdot (x - \frac{1}{9})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot (x - \frac{1}{9})$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{3} = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} (- \frac{1}{9})$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{1}{9})$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{9}$ in den Zähler.

$y - \frac{1}{3} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{9}$

Schritt 3.3.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y - \frac{1}{3} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{3 (3)}$

Schritt 3.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{1}{3} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{1}{3} = \frac{3 x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{- 1}{3}$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{3 x}{2} + \frac{- 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{3 x}{2} + \frac{- 1}{6}$

Schritt 3.3.1.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{1}{3} = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $\frac{1}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{6} + \frac{2}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{6} + \frac{2}{6}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 1 + 2}{6}$

Schritt 3.3.2.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{1}{6}$

Schritt 4