Analysis Beispiele

$4 x^{2} + 2 y^{2} = 12$ , $(1, 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 2 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$8 x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 x + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$8 x + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 x + 2 (2 y y')$

Schritt 1.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 x + 4 y y'$

Schritt 1.2.4

Stelle die Terme um.

$4 y y' + 8 x$

Schritt 1.3

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 y y' + 8 x = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y y' = - 8 x$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' = - 8 x$ durch $4 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' = - 8 x$ durch $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 8 x}{4 y}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 8 x}{4 y}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{4 y}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{4 y}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{4 y}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x$ heraus.

$y' = \frac{4 (- 2 x)}{4 y}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$y' = \frac{4 (- 2 x)}{4 (y)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 (- 2 x)}{4 y}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

Schritt 1.5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 1$ und $y = 2$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$- \frac{2 (1)}{y}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $2$ .

$- \frac{2 (1)}{2}$

Schritt 1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2}$

Schritt 1.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(1, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = - 1 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 1 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.4.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y - 2 = - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 2 = - x + 1$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x + 1 + 2$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y = - x + 3$

Schritt 3