Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{3}$ ; $x = - 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = - 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $- 1$ für $x$ ein.

$y = 3 {(- 1)}^{3}$

Schritt 1.2

Vereinfache $3 {(- 1)}^{3}$ .

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Schritt 1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = 3 \cdot - 1$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = - 3$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = - 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 x^{2})$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

$9 {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$9 \cdot 1$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $9$ und einen gegebenen Punkt $(- 1, - 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 3) = 9 \cdot (x - (- 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 3 = 9 \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $9 \cdot (x + 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + 3 = 0 + 0 + 9 \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 3 = 9 \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 3 = 9 x + 9 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$y + 3 = 9 x + 9$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 9 x + 9 - 3$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$y = 9 x + 6$

Schritt 4