Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{10 x}{x^{2} - 6}$ ; $(4, 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{10 x}{x^{2} - 6}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 6}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 6}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 6$ .

$10 \frac{(x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \frac{(x^{2} - 6) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x^{2} - 6$ mit $1$ .

$10 \frac{x^{2} - 6 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$10 \frac{x^{2} - 6 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 \frac{x^{2} - 6 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 \frac{x^{2} - 6 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$10 \frac{x^{2} - 6 - x (2 x)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$10 \frac{x^{2} - 6 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 \frac{x^{2} - 6 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 \frac{x^{2} - 6 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 \frac{x^{2} - 6 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$10 \frac{x^{2} - 6 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$10 \frac{- x^{2} - 6}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.9

Kombiniere $10$ und $\frac{- x^{2} - 6}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$ .

$\frac{10 (- x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 (- x^{2}) + 10 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 10 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.10.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 6$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 60}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.10.3

Faktorisiere $10$ aus $- 10 x^{2} - 60$ heraus.

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Schritt 1.10.3.1

Faktorisiere $10$ aus $- 10 x^{2}$ heraus.

$\frac{10 (- x^{2}) - 60}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.10.3.2

Faktorisiere $10$ aus $- 60$ heraus.

$\frac{10 (- x^{2}) + 10 (- 6)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.10.3.3

Faktorisiere $10$ aus $10 (- x^{2}) + 10 (- 6)$ heraus.

$\frac{10 (- x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.10.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{10 (- (x^{2}) - 6)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.10.5

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$\frac{10 (- (x^{2}) - 1 (6))}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.10.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (6)$ heraus.

$\frac{10 (- (x^{2} + 6))}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.10.7

Schreibe $- (x^{2} + 6)$ als $- 1 (x^{2} + 6)$ um.

$\frac{10 (- 1 (x^{2} + 6))}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.10.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10 (x^{2} + 6)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.11

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$- \frac{10 ({(4)}^{2} + 6)}{{({(4)}^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{10 (16 + 6)}{{(4^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.12.1.2

Addiere $16$ und $6$ .

$- \frac{10 \cdot 22}{{(4^{2} - 6)}^{2}}$

Schritt 1.12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.12.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{10 \cdot 22}{{(16 - 6)}^{2}}$

Schritt 1.12.2.2

Subtrahiere $6$ von $16$ .

$- \frac{10 \cdot 22}{10^{2}}$

Schritt 1.12.2.3

Potenziere $10$ mit $2$ .

$- \frac{10 \cdot 22}{100}$

Schritt 1.12.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.12.3.1

Mutltipliziere $10$ mit $22$ .

$- \frac{220}{100}$

Schritt 1.12.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $220$ und $100$ .

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Schritt 1.12.3.2.1

Faktorisiere $20$ aus $220$ heraus.

$- \frac{20 (11)}{100}$

Schritt 1.12.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.12.3.2.2.1

Faktorisiere $20$ aus $100$ heraus.

$- \frac{20 \cdot 11}{20 \cdot 5}$

Schritt 1.12.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{20 \cdot 11}{20 \cdot 5}$

Schritt 1.12.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{11}{5}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{11}{5}$ und einen gegebenen Punkt $(4, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = - \frac{11}{5} \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = - \frac{11}{5} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{11}{5} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{11}{5} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 4 = - \frac{11}{5} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 4 = - \frac{11}{5} x - \frac{11}{5} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{11}{5}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 11}{5} - \frac{11}{5} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- \frac{11}{5} \cdot - 4$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 11}{5} + 4 (\frac{11}{5})$

Schritt 2.3.1.5.2

Kombiniere $4$ und $\frac{11}{5}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 11}{5} + \frac{4 \cdot 11}{5}$

Schritt 2.3.1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $11$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 11}{5} + \frac{44}{5}$

Schritt 2.3.1.6

Bringe $11$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 4 = - \frac{11 x}{5} + \frac{44}{5}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{11 x}{5} + \frac{44}{5} + 4$

Schritt 2.3.2.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{11 x}{5} + \frac{44}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{11 x}{5} + \frac{44}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{11 x}{5} + \frac{44 + 4 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$y = - \frac{11 x}{5} + \frac{44 + 20}{5}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $44$ und $20$ .

$y = - \frac{11 x}{5} + \frac{64}{5}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{11}{5} x) + \frac{64}{5}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{11}{5} x + \frac{64}{5}$

Schritt 3