Analysis Beispiele

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$ , $(9, - 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 9$ und $y = - 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 5))$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe ${(y - 3)}^{2}$ als $(y - 3) (y - 3)$ um.

$\frac{d}{d x} [(y - 3) (y - 3)]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $(y - 3) (y - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Schritt 1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Schritt 1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Schritt 1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Schritt 1.2.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $3 y$ von $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 6 y + 9]$

Schritt 1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 6 y + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.6

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 y$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.8

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 y y' - 6 y' + 0$

Schritt 1.2.10

Addiere $2 y y' - 6 y'$ und $0$ .

$2 y y' - 6 y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 (x - 5)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (1 + 0)$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' - 6 y' = 4$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y' - 6 y'$ heraus.

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$2 y' y - 6 y' = 4$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 6 y'$ heraus.

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = 4$

Schritt 1.5.1.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ heraus.

$2 y' (y - 3) = 4$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y - 3) = 4$ durch $2 (y - 3)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y - 3) = 4$ durch $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2}{y - 3}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 3}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 9$ und $y = - 1$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$\frac{2}{y - 3}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $- 1$ .

$\frac{2}{(- 1) - 3}$

Schritt 1.7.3

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$\frac{2}{- 4}$

Schritt 1.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 4$ .

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Schritt 1.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{- 4}$

Schritt 1.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 2}$

Schritt 1.7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(9, - 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (9))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 9$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$y + 1 = - \frac{x}{2} + 9 (\frac{1}{2})$

Schritt 2.3.1.5.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + 1 = - \frac{x}{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{9}{2} - 1$

Schritt 2.3.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{9 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{9 - 2}{2}$

Schritt 2.3.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{7}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

Schritt 3