Analysis Beispiele

$f (x) = {({(x - 1)}^{2} - x)}^{2}$ at $x = 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $2$ für $x$ ein.

$y = {({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = {({(2 - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache ${({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y = {(1^{2} - (2))}^{2}$

Schritt 1.2.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = {(1 - (2))}^{2}$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = {(1 - 2)}^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.3.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 1$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(x - 1)}^{2} - x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x - 1)}^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x - 1)}^{2} - x$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x - 1)}^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - 1)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 {(x - 1)}^{2} + 2 (- x)) (2 (x - 1) - 1)$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 {(x - 1)}^{2} + 2 (- x)) (2 x + 2 \cdot - 1 - 1)$

Schritt 2.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot - 1 - 1)$

Schritt 2.5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x - 2 - 1)$

Schritt 2.5.3.3

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$(2 ((x - 1) (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.4.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.4.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$(2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.4.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$(2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.4.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$(2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.4.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(2 (x^{2} - x - x + 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.4.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$(2 (x^{2} - 2 x + 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.4.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.4.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1 - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.5

Subtrahiere $2 x$ von $- 4 x$ .

$(2 x^{2} - 6 x + 2) (2 x - 3)$

Schritt 2.5.6

Multipliziere $(2 x^{2} - 6 x + 2) (2 x - 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.7.2.1

Bewege $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.5.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.7.6.1

Bewege $x$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 x^{2} - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 6$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 4 x + 2 \cdot - 3$

Schritt 2.5.7.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 4 x - 6$

Schritt 2.5.8

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $- 6 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 18 x + 4 x - 6$

Schritt 2.5.9

Addiere $18 x$ und $4 x$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 22 x - 6$

Schritt 2.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$4 {(2)}^{3} - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 \cdot 8 - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

Schritt 2.7.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$32 - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

Schritt 2.7.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$32 - 18 \cdot 4 + 22 (2) - 6$

Schritt 2.7.1.4

Mutltipliziere $- 18$ mit $4$ .

$32 - 72 + 22 (2) - 6$

Schritt 2.7.1.5

Mutltipliziere $22$ mit $2$ .

$32 - 72 + 44 - 6$

Schritt 2.7.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.7.2.1

Subtrahiere $72$ von $32$ .

$- 40 + 44 - 6$

Schritt 2.7.2.2

Addiere $- 40$ und $44$ .

$4 - 6$

Schritt 2.7.2.3

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$- 2$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 2$ und einen gegebenen Punkt $(2, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 2 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y - 1 = - 2 x + 4$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2 x + 4 + 1$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $4$ und $1$ .

$y = - 2 x + 5$

Schritt 4