Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3}{x}$ at $(- 8, - \frac{3}{8})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 8$ und $y = - \frac{3}{8}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2})$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x^{- 2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = - 8$ .

$- \frac{3}{{(- 8)}^{2}}$

Schritt 1.7

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$- \frac{3}{64}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{3}{64}$ und einen gegebenen Punkt $(- 8, - \frac{3}{8})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- \frac{3}{8}) = - \frac{3}{64} \cdot (x - (- 8))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + \frac{3}{8} = - \frac{3}{64} \cdot (x + 8)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{3}{64} \cdot (x + 8)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + \frac{3}{8} = 0 + 0 - \frac{3}{64} \cdot (x + 8)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \frac{3}{8} = - \frac{3}{64} x - \frac{3}{64} \cdot 8$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{64}$ .

$y + \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} - \frac{3}{64} \cdot 8$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{64}$ in den Zähler.

$y + \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{64} \cdot 8$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$y + \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8 (8)} \cdot 8$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8 \cdot 8} \cdot 8$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y + \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + \frac{3}{8} = - \frac{3 \cdot x}{64} + \frac{- 3}{8}$

Schritt 2.3.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + \frac{3}{8} = - \frac{3 x}{64} - \frac{3}{8}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $\frac{3}{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{3 x}{64} - \frac{3}{8} - \frac{3}{8}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 3 x}{64} + \frac{- 3 - 3}{8}$

Schritt 2.3.2.3

Subtrahiere $3$ von $- 3$ .

$y = \frac{- 3 x}{64} + \frac{- 6}{8}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{- 6}{8}$

Schritt 2.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $8$ .

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Schritt 2.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{2 (- 3)}{8}$

Schritt 2.3.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{- 3}{4}$

Schritt 2.3.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x}{64} - \frac{3}{4}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{3}{64} x) - \frac{3}{4}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{64} x - \frac{3}{4}$

Schritt 3