Analysis Beispiele

$y = 3 \arcsin (x)$ , $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{1}{2}$ und $y = \frac{π}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \arcsin (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arcsin (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}}$

Schritt 1.5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}}$

Schritt 1.5.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}}$

Schritt 1.5.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}$

Schritt 1.5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}}$

Schritt 1.5.1.6

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{3}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$

Schritt 1.5.1.7

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}$

Schritt 1.5.1.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Schritt 1.5.1.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 1.5.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$3 \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 1.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $2 \sqrt{3}$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{π}{2}) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{π}{2} = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.1.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 (\sqrt{3}) \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3}$

Schritt 2.3.1.3.2

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3}$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} + \frac{π}{2}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Um $- \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $- \sqrt{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \sqrt{3} + π}{2}$

Schritt 2.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \sqrt{3}$ heraus.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) + π}{2}$

Schritt 2.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $π$ heraus.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)}{2}$

Schritt 2.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)$ heraus.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Schritt 2.3.3.8

Schreibe $- (2 \sqrt{3} - π)$ als $- 1 (2 \sqrt{3} - π)$ um.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Schritt 2.3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 \sqrt{3} - π}{2}$

Schritt 3