Analysis Beispiele

$y = \sec (x) - 6 \cos (x)$ , $P = (\frac{π}{3}, - 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{3}$ und $y = - 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sec (x) - 6 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 (- \sin (x))$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\sec (x) \tan (x) + 6 \sin (x)$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 1.5.1.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 1.5.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \sqrt{3} + 2 (3) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.5.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.5.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Schritt 1.5.2

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$5 \sqrt{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze die Steigung $5 \sqrt{3}$ und einen gegebenen Punkt $P = (\frac{π}{3}, - 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 1) = 5 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache $5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 1 = 0 + 0 + 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere $5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Schritt 2.3.1.4.2

Kombiniere $\frac{π}{3}$ und $- 5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5}{3} \sqrt{3}$

Schritt 2.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{π \cdot - 5}{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.5.1

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $π$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 3}{3}$

Schritt 2.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 π \sqrt{3}$ heraus.

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 3}{3}$

Schritt 2.3.3.6

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)}{3}$

Schritt 2.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)$ heraus.

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Schritt 2.3.3.8

Schreibe $- (5 π \sqrt{3} + 3)$ als $- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)$ um.

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Schritt 2.3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3} + 3}{3}$

Schritt 3