Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} - 16 x}{4 x - x^{3}}$ at $x = 4$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 4$ .

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Schritt 1.1

Setze $4$ für $x$ ein.

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{4^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{4^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - 4^{3}}$

Schritt 1.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $\frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(4)}^{2} - 16 \cdot 4$ und $4 (4) - {(4)}^{3}$ .

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Schritt 1.2.4.1.1

Stelle die Terme um.

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.1.2

Faktorisiere $4$ aus ${(4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \cdot 4 - 16 \cdot 4}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 16 \cdot 4$ heraus.

$y = \frac{4 \cdot 4 + 4 (- 4 \cdot 4)}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 4 + 4 (- 4 \cdot 4)$ heraus.

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- {(4)}^{3}$ heraus.

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2}) + 4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 4$ heraus.

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2}) + 4 (4)}$

Schritt 1.2.4.1.5.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4^{2}) + 4 (4)$ heraus.

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2} + 4)}$

Schritt 1.2.4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2} + 4)}$

Schritt 1.2.4.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4 - 4 \cdot 4}{- 4^{2} + 4}$

Schritt 1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 - 4 \cdot 4$ und $- 4^{2} + 4$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{4 \cdot 1 - 4 \cdot 4}{- 4^{2} + 4}$

Schritt 1.2.4.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \cdot 4$ heraus.

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 1 \cdot 4)}{- 4^{2} + 4}$

Schritt 1.2.4.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (- 1 \cdot 4)$ heraus.

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{- 4^{2} + 4}$

Schritt 1.2.4.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4) + 4}$

Schritt 1.2.4.2.4.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4) + 4 (1)}$

Schritt 1.2.4.2.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 1 \cdot 4) + 4 (1)$ heraus.

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4 + 1)}$

Schritt 1.2.4.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4 + 1)}$

Schritt 1.2.4.2.4.5

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{- 1 \cdot 4 + 1}$

Schritt 1.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - 1 \cdot 4$ und $- 1 \cdot 4 + 1$ .

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Schritt 1.2.4.3.1

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{1 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{1 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 1$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 16 x$ und $g (x) = 4 x - x^{3}$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x] - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 16 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16 x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16 \cdot 1) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - (3 x^{2}))}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere $(4 x - x^{3}) (2 x - 16)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (2 x - 16) - x^{3} (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{3} x - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.6

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.2.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 3} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.6.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} + (- x^{2} + 16 x) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.4

Multipliziere $(- x^{2} + 16 x) (4 - 3 x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} (4 - 3 x^{2}) + 16 x (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2} x^{2} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.5.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 (x^{2} x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2 + 2} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{4} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.5

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x \cdot x^{2}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.5.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 (x^{2} x)}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.5.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 (x^{2} x^{1})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x^{2 + 1}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.8

Mutltipliziere $16$ mit $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x - 48 x^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Addiere $- 64 x$ und $64 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 0 - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Addiere $8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4}$ und $0$ .

$\frac{8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $- 2 x^{4}$ und $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.5

Subtrahiere $48 x^{3}$ von $16 x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.3.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{2} x^{2} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 32 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x) + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x) + x^{2} \cdot 4}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x)$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x) + x^{2} \cdot 4}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} - 32 x) + x^{2} \cdot 4$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3} + 4 x$ heraus.

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Schritt 2.3.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2}) + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2}) + x \cdot 4)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x^{2}) + x \cdot 4$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2} + 4))}^{2}}$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2} + 2^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.3.5.3

Stelle $- x^{2}$ und $2^{2}$ um.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2^{2} - x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.3.5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2 + x) (2 - x))}^{2}}$

Schritt 2.3.5.5

Wende die Produktregel auf $x (2 + x) (2 - x)$ an.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2 + x))}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x \cdot 2 + x \cdot x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(2 \cdot x + x \cdot x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.8

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(2 \cdot x + x^{2})}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.9

Schreibe ${(2 x + x^{2})}^{2}$ als $(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2})$ um.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.10

Multipliziere $(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.5.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x + x^{2}) + x^{2} (2 x + x^{2})) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x + x^{2})) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.5.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.5.11.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.5.11.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.5.11.1.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 (x^{2} x) + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.5.11.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{2 + 1} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{2} x + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.5.11.1.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.5.11.1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.5.11.1.7.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{2 + 2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.1.7.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.11.2

Addiere $2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.12

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}$ heraus.

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Schritt 2.3.5.12.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.12.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.12.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.12.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x)$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot (4 + 4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.12.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot (4 + 4 x) + x^{2} x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (4 + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.13

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.3.5.13.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (2^{2} + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.13.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$

Schritt 2.3.5.13.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.13.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} - 32 x + 4}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$\frac{{(4)}^{2} - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{{(4)}^{2} - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16 - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Schritt 2.5.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $4$ .

$\frac{16 - 128 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Schritt 2.5.2.3

Subtrahiere $128$ von $16$ .

$\frac{- 112 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4

Addiere $- 112$ und $4$ .

$\frac{- 108}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.3.1

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{- 108}{6^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Schritt 2.5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 108}{6^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.3

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\frac{- 108}{6^{2} {(- 2)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{- 108}{36 {(- 2)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 108}{36 \cdot 4}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $36$ mit $4$ .

$\frac{- 108}{144}$

Schritt 2.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 108$ und $144$ .

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Schritt 2.5.4.2.1

Faktorisiere $36$ aus $- 108$ heraus.

$\frac{36 (- 3)}{144}$

Schritt 2.5.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.4.2.2.1

Faktorisiere $36$ aus $144$ heraus.

$\frac{36 \cdot - 3}{36 \cdot 4}$

Schritt 2.5.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36 \cdot - 3}{36 \cdot 4}$

Schritt 2.5.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{4}$

Schritt 2.5.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{4}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{3}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(4, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{4}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.2.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 (- 1))$

Schritt 3.3.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3$

Schritt 3.3.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 1 = - \frac{3 x}{4} + 3$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{3 x}{4} + 3 + 1$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{3}{4} x) + 4$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{4} x + 4$

Schritt 4