Analysis Beispiele

$y = x^{4} e^{- x}$ , $(1, \frac{1}{e})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = \frac{1}{e}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ um.

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- {(1)}^{4} e^{- (1)} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 1 \cdot 1 e^{- (1)} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 e^{- (1)} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 e^{- 1} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

Schritt 1.6.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

Schritt 1.6.1.5

Schreibe $- 1 \frac{1}{e}$ als $- \frac{1}{e}$ um.

$- \frac{1}{e} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

Schritt 1.6.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{e} + 4 \cdot 1 e^{- (1)}$

Schritt 1.6.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{1}{e} + 4 e^{- (1)}$

Schritt 1.6.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{e} + 4 e^{- 1}$

Schritt 1.6.1.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 4 \frac{1}{e}$

Schritt 1.6.1.10

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{4}{e}$

Schritt 1.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.6.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 4}{e}$

Schritt 1.6.2.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{3}{e}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{3}{e}$ und einen gegebenen Punkt $(1, \frac{1}{e})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{e}) = \frac{3}{e} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{e} = \frac{3}{e} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1.1

Subtrahiere $\frac{3}{e} \cdot (x - 1)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - \frac{1}{e} - \frac{3}{e} \cdot (x - 1) = 0$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{e} - \frac{3}{e} x - \frac{3}{e} \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{e}$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 3}{e} - \frac{3}{e} \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.3.1.2.3

Multipliziere $- \frac{3}{e} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 3}{e} + 1 \frac{3}{e} = 0$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{e}$ mit $1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 3}{e} + \frac{3}{e} = 0$

Schritt 2.3.1.2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{3 x}{e} + \frac{3}{e} = 0$

Schritt 2.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + \frac{- 1 - 3 x + 3}{e} = 0$

Schritt 2.3.1.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$y + \frac{- 3 x + 2}{e} = 0$

Schritt 2.3.1.5

Um $y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e}{e}$ .

$\frac{y e}{e} + \frac{- 3 x + 2}{e} = 0$

Schritt 2.3.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y e - 3 x + 2}{e} = 0$

Schritt 2.3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$y e - 3 x + 2 = 0$

Schritt 2.3.3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.3.1.1

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y e + 2 = 3 x$

Schritt 2.3.3.1.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y e = 3 x - 2$

Schritt 2.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $y e = 3 x - 2$ durch $e$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y e = 3 x - 2$ durch $e$ .

$\frac{y e}{e} = \frac{3 x}{e} + \frac{- 2}{e}$

Schritt 2.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y e}{e} = \frac{3 x}{e} + \frac{- 2}{e}$

Schritt 2.3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 x}{e} + \frac{- 2}{e}$

Schritt 2.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{e} - \frac{2}{e}$

Schritt 2.3.4

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3}{e} x - \frac{2}{e}$

Schritt 3