Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x}{x + 2}$ , $(2, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x + 2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 2$ .

$2 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$2 \frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$2 \frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 \frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$2 \frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.4

Addiere $0$ und $2$ .

$2 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.5

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$\frac{4}{{((2) + 2)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1.1

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{4}{4^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{4}{16}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (1)}{16}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(2, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = \frac{1}{4} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 1 = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{2} + 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 + 2}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $- 1$ und $2$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$

Schritt 3