Analysis Beispiele

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ , $(1, e)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = e$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x e^{x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Subtrahiere $2 x e^{x}$ von $e^{x} (2 x)$ .

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Schritt 1.5.2.1.1

Bewege $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 1.5.2.1.2

Subtrahiere $2 x e^{x}$ von $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $x^{2} e^{x}$ und $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 1.5.2.3

Addiere $- 2 e^{x}$ und $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0$

Schritt 1.5.2.4

Addiere $x^{2} e^{x}$ und $0$ .

$x^{2} e^{x}$

Schritt 1.5.3

Stelle die Faktoren von $x^{2} e^{x}$ um.

$e^{x} x^{2}$

Schritt 1.5.4

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2}$ um.

$x^{2} e^{x}$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

${(1)}^{2} e^{1}$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 e^{1}$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $e^{1}$ mit $1$ .

$e^{1}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache.

$e$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $e$ und einen gegebenen Punkt $(1, e)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (e) = e \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - e = e \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $e \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - e = 0 + 0 + e \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - e = e x + e \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e$ .

$y - e = e x - 1 \cdot e$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe $- 1 e$ als $- e$ um.

$y - e = e x - e$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $e$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = e x - e + e$

Schritt 2.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e x - e + e$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Addiere $- e$ und $e$ .

$y = e x + 0$

Schritt 2.3.2.2.2

Addiere $e x$ und $0$ .

$y = e x$

Schritt 3