Analysis Beispiele

$x^{2} y^{8} = 9$ , $(3, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{8}) = \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{8}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{8}] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{8}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$x^{2} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} (8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} y^{7} \frac{d}{d x} [y] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} (2 x)$

Schritt 1.2.6

Stelle um.

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Schritt 1.2.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{8}$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + 2 \cdot y^{8} x$

Schritt 1.2.6.2

Stelle die Terme um.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x$

Schritt 1.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $2 y^{8} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ durch $8 y^{7} x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ durch $8 y^{7} x^{2}$ .

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{7}$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $8$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{8} x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{8 y^{7} x^{2}}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 y^{7} x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{8} x}{4 y^{7} x^{2}}$

Schritt 1.5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{8}$ und $y^{7}$ .

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Schritt 1.5.2.3.2.1

Faktorisiere $y^{7}$ aus $- y^{8} x$ heraus.

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{4 y^{7} x^{2}}$

Schritt 1.5.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.2.2.1

Faktorisiere $y^{7}$ aus $4 y^{7} x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Schritt 1.5.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Schritt 1.5.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y x}{4 x^{2}}$

Schritt 1.5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.5.2.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- y x$ heraus.

$y' = \frac{x (- y)}{4 x^{2}}$

Schritt 1.5.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Schritt 1.5.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Schritt 1.5.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{4 x}$

Schritt 1.5.2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{4 x}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{4 x}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 3$ und $y = 1$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$- \frac{y}{4 (3)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $1$ .

$- \frac{1}{4 (3)}$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{1}{12}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{12}$ und einen gegebenen Punkt $(3, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{1}{12} \cdot (x - (3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{12}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{12}$ in den Zähler.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{12} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 (4)} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{- 1}{4}$ und $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- - 1}{4}$

Schritt 2.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1 + 4}{4}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $1$ und $4$ .

$y = - \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{12} x) + \frac{5}{4}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{12} x + \frac{5}{4}$

Schritt 3