Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} - 9 x}{3 x - x^{3}}$ at $x = 3$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 3$ .

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Schritt 1.1

Setze $3$ für $x$ ein.

$y = \frac{{(3)}^{2} - 9 \cdot 3}{3 (3) - {(3)}^{3}}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3^{2} - 9 \cdot 3}{3 (3) - {(3)}^{3}}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3^{2} - 9 \cdot 3}{3 (3) - 3^{3}}$

Schritt 1.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \frac{{(3)}^{2} - 9 \cdot 3}{3 (3) - {(3)}^{3}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $\frac{{(3)}^{2} - 9 \cdot 3}{3 (3) - {(3)}^{3}}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(3)}^{2} - 9 \cdot 3$ und $3 (3) - {(3)}^{3}$ .

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Schritt 1.2.4.1.1

Stelle die Terme um.

$y = \frac{{(3)}^{2} - 9 \cdot 3}{- {(3)}^{3} + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus ${(3)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot 3 - 9 \cdot 3}{- {(3)}^{3} + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 9 \cdot 3$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- 3 \cdot 3)}{- {(3)}^{3} + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 3 + 3 (- 3 \cdot 3)$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot (3 - 3 \cdot 3)}{- {(3)}^{3} + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- {(3)}^{3}$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot (3 - 3 \cdot 3)}{3 (- 3^{2}) + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 3$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot (3 - 3 \cdot 3)}{3 (- 3^{2}) + 3 (3)}$

Schritt 1.2.4.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 3^{2}) + 3 (3)$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot (3 - 3 \cdot 3)}{3 (- 3^{2} + 3)}$

Schritt 1.2.4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 \cdot (3 - 3 \cdot 3)}{3 (- 3^{2} + 3)}$

Schritt 1.2.4.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 - 3 \cdot 3}{- 3^{2} + 3}$

Schritt 1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 - 3 \cdot 3$ und $- 3^{2} + 3$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot 1 - 3 \cdot 3}{- 3^{2} + 3}$

Schritt 1.2.4.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \cdot 3$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot 1 + 3 (- 1 \cdot 3)}{- 3^{2} + 3}$

Schritt 1.2.4.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (1) + 3 (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$y = \frac{3 (1 - 1 \cdot 3)}{- 3^{2} + 3}$

Schritt 1.2.4.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3^{2}$ heraus.

$y = \frac{3 (1 - 1 \cdot 3)}{3 (- 1 \cdot 3) + 3}$

Schritt 1.2.4.2.4.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y = \frac{3 (1 - 1 \cdot 3)}{3 (- 1 \cdot 3) + 3 (1)}$

Schritt 1.2.4.2.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 1 \cdot 3) + 3 (1)$ heraus.

$y = \frac{3 (1 - 1 \cdot 3)}{3 (- 1 \cdot 3 + 1)}$

Schritt 1.2.4.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 (1 - 1 \cdot 3)}{3 (- 1 \cdot 3 + 1)}$

Schritt 1.2.4.2.4.5

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 3}{- 1 \cdot 3 + 1}$

Schritt 1.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - 1 \cdot 3$ und $- 1 \cdot 3 + 1$ .

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Schritt 1.2.4.3.1

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 3}{1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 3}{1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 1$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 9 x$ und $g (x) = 3 x - x^{3}$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9 x] - (x^{2} - 9 x) \frac{d}{d x} [3 x - x^{3}]}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]) - (x^{2} - 9 x) \frac{d}{d x} [3 x - x^{3}]}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9 x]) - (x^{2} - 9 x) \frac{d}{d x} [3 x - x^{3}]}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 9 x) \frac{d}{d x} [3 x - x^{3}]}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9 \cdot 1) - (x^{2} - 9 x) \frac{d}{d x} [3 x - x^{3}]}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) \frac{d}{d x} [3 x - x^{3}]}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (3 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (3 - \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (3 - (3 x^{2}))}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere $(3 x - x^{3}) (2 x - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x (2 x - 9) - x^{3} (2 x - 9) + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 9 - x^{3} (2 x - 9) + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 9 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 9 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 9 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 9 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 x \cdot - 9 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 1 \cdot 2 x^{3} x - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.6

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.2.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 3} - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.6.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 1 \cdot 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} + (- x^{2} + 9 x) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.4

Multipliziere $(- x^{2} + 9 x) (3 - 3 x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - x^{2} (3 - 3 x^{2}) + 9 x (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - x^{2} \cdot 3 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 9 x (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - x^{2} \cdot 3 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} - x^{2} (- 3 x^{2}) + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2} x^{2} + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.5.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} - 1 \cdot - 3 (x^{2} x^{2}) + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2 + 2} + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{4} + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x + 9 \cdot - 3 x \cdot x^{2}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.5.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x + 9 \cdot - 3 (x^{2} x)}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.5.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x + 9 \cdot - 3 (x^{2} x^{1})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x + 9 \cdot - 3 x^{2 + 1}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x + 9 \cdot - 3 x^{3}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.5.8

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x - 27 x^{3}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x - 27 x^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Addiere $- 27 x$ und $27 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 0 - 27 x^{3}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Addiere $6 x^{2} - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4}$ und $0$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} - 27 x^{3}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.3

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $6 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 9 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x^{4} - 27 x^{3}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $- 2 x^{4}$ und $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 9 x^{3} + 3 x^{2} - 27 x^{3}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.5

Subtrahiere $27 x^{3}$ von $9 x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{2}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{2}}{{(- x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.3.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{2} x^{2} - 18 x^{3} + 3 x^{2}}{{(- x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 18 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 18 x) + 3 x^{2}}{{(- x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 18 x) + x^{2} \cdot 3}{{(- x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 18 x)$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x) + x^{2} \cdot 3}{{(- x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} - 18 x) + x^{2} \cdot 3$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x + 3)}{{(- x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3} + 3 x$ heraus.

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Schritt 2.3.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x + 3)}{{(x (- x^{2}) + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x + 3)}{{(x (- x^{2}) + x \cdot 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x^{2}) + x \cdot 3$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x + 3)}{{(x (- x^{2} + 3))}^{2}}$

Schritt 2.3.5.2

Wende die Produktregel auf $x (- x^{2} + 3)$ an.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x + 3)}{x^{2} {(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x + 3)}{x^{2} {(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} - 18 x + 3}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 3$ .

$\frac{{(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 3}{{(- {(3)}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9 - 18 \cdot 3 + 3}{{(- 3^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 18$ mit $3$ .

$\frac{9 - 54 + 3}{{(- 3^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.5.1.3

Subtrahiere $54$ von $9$ .

$\frac{- 45 + 3}{{(- 3^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.5.1.4

Addiere $- 45$ und $3$ .

$\frac{- 42}{{(- 3^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 42}{{(- 1 \cdot 9 + 3)}^{2}}$

Schritt 2.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{- 42}{{(- 9 + 3)}^{2}}$

Schritt 2.5.2.3

Addiere $- 9$ und $3$ .

$\frac{- 42}{{(- 6)}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{- 42}{36}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 42$ und $36$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 42$ heraus.

$\frac{6 (- 7)}{36}$

Schritt 2.5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $36$ heraus.

$\frac{6 \cdot - 7}{6 \cdot 6}$

Schritt 2.5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot - 7}{6 \cdot 6}$

Schritt 2.5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 7}{6}$

Schritt 2.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{6}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{7}{6}$ und einen gegebenen Punkt $(3, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{7}{6} \cdot (x - (3))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{7}{6} \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{7}{6} \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{7}{6} \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{7}{6} x - \frac{7}{6} \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{7}{6}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} - \frac{7}{6} \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{6}$ in den Zähler.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{- 7}{6} \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{- 7}{3 (2)} \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.2.3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{- 7}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{- 7}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.2.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{- 7}{2} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.2.4

Kombiniere $\frac{- 7}{2}$ und $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{- 7 \cdot - 1}{2}$

Schritt 3.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 1 = - \frac{7 x}{6} + \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{7 x}{6} + \frac{7}{2} + 1$

Schritt 3.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{7 x}{6} + \frac{7}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{7 x}{6} + \frac{7 + 2}{2}$

Schritt 3.3.2.4

Addiere $7$ und $2$ .

$y = - \frac{7 x}{6} + \frac{9}{2}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{7}{6} x) + \frac{9}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{7}{6} x + \frac{9}{2}$

Schritt 4