Analysis Beispiele

$y = \cot (x)$ ; $x = - \frac{π}{2}$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.1

Setze $- \frac{π}{2}$ für $x$ ein.

$y = \cot (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \cot (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\cot (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 1.2.2.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$y = \cot (\frac{3 π}{2})$

Schritt 1.2.2.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kotangens im vierten Quadranten negativ ist.

$y = - \cot (\frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2.3

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$y = - 0$

Schritt 1.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - \frac{π}{2}$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

Schritt 2.2

Bestimme die Ableitung bei $x = - \frac{π}{2}$ .

$- \csc^{2} (- \frac{π}{2})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \csc^{2} (\frac{3 π}{2})$

Schritt 2.3.2

$- {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{2}$

Schritt 2.3.3

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.3.5

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

${(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.3.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(- 1)}^{1 + 2}$

Schritt 2.3.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

${(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.6

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(- \frac{π}{2}, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = - 1 \cdot (x - (- \frac{π}{2}))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = - 1 \cdot (x + \frac{π}{2})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = - 1 \cdot (x + \frac{π}{2})$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $- 1 \cdot (x + \frac{π}{2})$ .

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 x - 1 \frac{π}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 3.3.2.2.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = - x - 1 \frac{π}{2}$

Schritt 3.3.2.2.2

Schreibe $- 1 \frac{π}{2}$ als $- \frac{π}{2}$ um.

$y = - x - \frac{π}{2}$

Schritt 4