Analysis Beispiele

$f (x) = 6 + \ln (x)$ ; $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = 6 + \ln (1)$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 6 + \ln (1)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $6 + \ln (1)$ .

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Schritt 1.2.2.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$y = 6 + 0$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $6$ und $0$ .

$y = 6$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 6$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 2.5

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(1, 6)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (6) = 1 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 6 = 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$y - 6 = x - 1$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x - 1 + 6$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$y = x + 5$

Schritt 4