Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{x}$ at $(1, - 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = - 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.3

Multipliziere.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$x^{- 2}$

Schritt 1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{1}$

Schritt 1.5.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(1, - 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 1 = 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$y + 1 = x - 1$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x - 1 - 1$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$y = x - 2$

Schritt 3