Analysis Beispiele

$y = \ln (x^{\frac{9}{2}})$ ; $(1, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{\frac{9}{2}}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{9}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1})$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 2}{2}})$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}})$

Schritt 1.7

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}}$ mit $\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{9}{2}} \cdot 2}$

Schritt 1.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.9.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{9}{2}}}$

Schritt 1.9.2

Bringe $x^{\frac{7}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{9}{2}} x^{- \frac{7}{2}}}$

Schritt 1.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.10.1

Multipliziere $x^{\frac{9}{2}}$ mit $x^{- \frac{7}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.10.1.1

Bewege $x^{- \frac{7}{2}}$ .

$\frac{9}{2 (x^{- \frac{7}{2}} x^{\frac{9}{2}})}$

Schritt 1.10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9}{2 x^{- \frac{7}{2} + \frac{9}{2}}}$

Schritt 1.10.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9}{2 x^{\frac{- 7 + 9}{2}}}$

Schritt 1.10.1.4

Addiere $- 7$ und $9$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.10.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{9}{2 x^{1}}$

Schritt 1.10.2

Vereinfache $2 x^{1}$ .

$\frac{9}{2 x}$

Schritt 1.11

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{9}{2 (1)}$

Schritt 1.12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{9}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(1, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = \frac{9}{2} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = \frac{9}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = \frac{9}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $\frac{9}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.3.2.3

Multipliziere $\frac{9}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $- 1$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 \cdot - 1}{2}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{9}{2} x - \frac{9}{2}$

Schritt 3