Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 3 x + 4$ at $(- 6, - 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 6$ und $y = - 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{2} + 3 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $\frac{2 x}{3} + 3$ und $0$ .

$\frac{2 x}{3} + 3$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = - 6$ .

$\frac{2 (- 6)}{3} + 3$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\frac{- 12}{3} + 3$

Schritt 1.6.2

Dividiere $- 12$ durch $3$ .

$- 4 + 3$

Schritt 1.6.3

Addiere $- 4$ und $3$ .

$- 1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(- 6, - 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 2) = - 1 \cdot (x - (- 6))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 2 = - 1 \cdot (x + 6)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 1 \cdot (x + 6)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 2 = 0 + 0 - 1 \cdot (x + 6)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 2 = - 1 \cdot (x + 6)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 2 = - 1 x - 1 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.4.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y + 2 = - x - 1 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$y + 2 = - x - 6$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x - 6 - 2$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 6$ .

$y = - x - 8$

Schritt 3