Analysis Beispiele

$y e^{\sin (x)} = x \cos (y)$ , $(0, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y e^{\sin (x)}) = \frac{d}{d x} (x \cos (y))$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = e^{\sin (x)}$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$y (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.5.1

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Schritt 1.3.5.2

Stelle die Terme um.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y' = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.1.1

Stelle die Faktoren in $y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$ um.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Stelle die Faktoren in $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ um.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x y' \sin (y) + \cos (y)$

Schritt 1.5.3

Addiere $x y' \sin (y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y)$

Schritt 1.5.4

Subtrahiere $y e^{\sin (x)} \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y)$ heraus.

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Schritt 1.5.5.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y' \sin (y)$ heraus.

$y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Schritt 1.5.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y))$ heraus.

$y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Schritt 1.5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ durch $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ durch $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ .

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Schritt 1.5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ .

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Schritt 1.5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Schritt 1.5.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Schritt 1.5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} - \frac{y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Schritt 1.5.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 0$ und $y = 0$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$\frac{\cos (y) - y e^{\sin (0)} \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (y)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $0$ .

$\frac{\cos (0) + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Schritt 1.7.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{0} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Schritt 1.7.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (1 \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Schritt 1.7.3.4

Mutltipliziere $\cos (0)$ mit $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Schritt 1.7.3.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot 1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Schritt 1.7.3.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{1 + 0}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Schritt 1.7.3.7

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{e^{0} + (0) \sin (0)}$

Schritt 1.7.4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{1 + (0) \sin (0)}$

Schritt 1.7.4.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{1 + 0 \cdot 0}$

Schritt 1.7.4.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Schritt 1.7.4.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 1.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1}$

Schritt 1.7.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(0, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $1 \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $x + 0$ mit $1$ .

$y = x + 0$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$y = x$

Schritt 3