Analysis Beispiele

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ , $(3, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 1.2.6.2

Stelle die Faktoren von $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ um.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 (x^{2} - y^{2})$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Schritt 1.3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 1.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 1.3.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 1.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$25 (2 x - 2 y y')$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

Schritt 1.3.5.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$50 x + 25 (- 2 y y')$

Schritt 1.3.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$50 x - 50 y y'$

Schritt 1.3.5.3

Stelle die Terme um.

$- 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Vereinfache $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.3

Multipliziere $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.7

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.4.7.1

Bewege $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.7.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.4.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.8

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.2

Addiere $50 y y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

Schritt 1.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Subtrahiere $8 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

Schritt 1.5.3.2

Subtrahiere $8 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4

Faktorisiere $2 y y'$ aus $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $8 y y' x^{2}$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $8 y^{3} y'$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $50 y y'$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.4

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.5

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ durch $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ durch $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.5.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $50 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ heraus.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- 4 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Schritt 1.5.5.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Schritt 1.5.5.3.2

Um $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 1.5.5.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

Schritt 1.5.5.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ um.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.6.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.7

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.7.1

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.7.2

Faktorisiere $x$ aus $25 x$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.7.3

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.7.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.7.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.9

Schreibe $25$ als $- 1 (- 25)$ um.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ heraus.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.13

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.13.1

Schreibe $- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ als $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ um.

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 3$ und $y = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$- \frac{(3) (4 {(3)}^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 {(3)}^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $1$ .

$- \frac{(3) (4 {(3)}^{2} - 25 + 4 {(1)}^{2})}{(1) (4 {(3)}^{2} + 4 {(1)}^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{3 (4 \cdot 9 - 25 + 4 \cdot 1^{2})}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$- \frac{3 (36 - 25 + 4 \cdot 1^{2})}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{3 (36 - 25 + 4 \cdot 1)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{3 (36 - 25 + 4)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.3.5

Subtrahiere $25$ von $36$ .

$- \frac{3 (11 + 4)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.3.6

Addiere $11$ und $4$ .

$- \frac{3 \cdot 15}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.4

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25$ mit $1$ .

$- \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Schritt 1.7.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$- \frac{45}{4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{45}{4 \cdot 9 + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Schritt 1.7.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$- \frac{45}{36 + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Schritt 1.7.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{45}{36 + 4 \cdot 1 + 25}$

Schritt 1.7.5.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{45}{36 + 4 + 25}$

Schritt 1.7.5.5

Addiere $36$ und $4$ .

$- \frac{45}{40 + 25}$

Schritt 1.7.5.6

Addiere $40$ und $25$ .

$- \frac{45}{65}$

Schritt 1.7.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $45$ und $65$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.6.1

Faktorisiere $5$ aus $45$ heraus.

$- \frac{5 (9)}{65}$

Schritt 1.7.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $65$ heraus.

$- \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 13}$

Schritt 1.7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 13}$

Schritt 1.7.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{9}{13}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{9}{13}$ und einen gegebenen Punkt $(3, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{9}{13} \cdot (x - (3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{9}{13} x - \frac{9}{13} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{9}{13}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} - \frac{9}{13} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- \frac{9}{13} \cdot - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + 3 (\frac{9}{13})$

Schritt 2.3.1.5.2

Kombiniere $3$ und $\frac{9}{13}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{3 \cdot 9}{13}$

Schritt 2.3.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{27}{13}$

Schritt 2.3.1.6

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 1 = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} + 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} + \frac{13}{13}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27 + 13}{13}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $27$ und $13$ .

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{40}{13}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{9}{13} x) + \frac{40}{13}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{9}{13} x + \frac{40}{13}$

Schritt 3