Analysis Beispiele

$y = {(e^{2 x} - 3)}^{2}$ , $(0, 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{2 x} - 3$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{2 x} - 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 3]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 3]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{2 x} - 3$ .

$2 (e^{2 x} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 3]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 x} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.4.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.4.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (2 e^{2 x} + 0)$

Schritt 1.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.5.1

Addiere $2 e^{2 x}$ und $0$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (2 e^{2 x})$

Schritt 1.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (e^{2 x} - 3) e^{2 x}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 e^{2 x} + 4 \cdot - 3) e^{2 x}$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 e^{2 x} e^{2 x} + 4 \cdot - 3 e^{2 x}$

Schritt 1.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.3.1

Multipliziere $e^{2 x}$ mit $e^{2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.3.1.1

Bewege $e^{2 x}$ .

$4 (e^{2 x} e^{2 x}) + 4 \cdot - 3 e^{2 x}$

Schritt 1.5.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 e^{2 x + 2 x} + 4 \cdot - 3 e^{2 x}$

Schritt 1.5.3.1.3

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$4 e^{4 x} + 4 \cdot - 3 e^{2 x}$

Schritt 1.5.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$4 e^{4 x} - 12 e^{2 x}$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$4 e^{4 (0)} - 12 e^{2 (0)}$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$4 e^{0} - 12 e^{2 (0)}$

Schritt 1.7.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 \cdot 1 - 12 e^{2 (0)}$

Schritt 1.7.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 - 12 e^{2 (0)}$

Schritt 1.7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$4 - 12 e^{0}$

Schritt 1.7.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 - 12 \cdot 1$

Schritt 1.7.1.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$4 - 12$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$- 8$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 8$ und einen gegebenen Punkt $(0, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 4 = - 8 x$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 8 x + 4$

Schritt 3