Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ at $x = 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $2$ für $x$ ein.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{{(2^{3} - (2))}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{1}{{(8 - (2))}^{2}}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{{(8 - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.3.3

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$y = \frac{1}{6^{2}}$

Schritt 1.2.3.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{36}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = \frac{1}{36}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ als ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{- 2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x^{3} - x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - x$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1)$

Schritt 2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.1.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Schritt 2.5.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Schritt 2.5.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$ um.

$- (3 x^{2} - 1) \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}}$

Schritt 2.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{({(2)}^{3} - (2))}^{3}}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - (2))}^{3}}$

Schritt 2.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - 2)}^{3}}$

Schritt 2.7.1.3

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{6^{3}}$

Schritt 2.7.1.4

Potenziere $6$ mit $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{216}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- (3 \cdot 4 - 1) \frac{2}{216}$

Schritt 2.7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- (12 - 1) \frac{2}{216}$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.7.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $12$ .

$- 1 \cdot 11 \frac{2}{216}$

Schritt 2.7.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$- 11 (\frac{2}{216})$

Schritt 2.7.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $216$ .

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Schritt 2.7.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 11 \frac{2 (1)}{216}$

Schritt 2.7.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $216$ heraus.

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Schritt 2.7.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Schritt 2.7.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 11 (\frac{1}{108})$

Schritt 2.7.2.2.4

Kombiniere $- 11$ und $\frac{1}{108}$ .

$\frac{- 11}{108}$

Schritt 2.7.2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{108}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{11}{108}$ und einen gegebenen Punkt $(2, \frac{1}{36})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{36}) = - \frac{11}{108} \cdot (x - (2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{36} = 0 + 0 - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} x - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{11}{108}$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{11}{108}$ in den Zähler.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{108} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $108$ heraus.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 (54)} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.2.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{54} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.2.4

Kombiniere $\frac{- 11}{54}$ und $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11 \cdot - 1}{54}$

Schritt 3.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{11}{54}$

Schritt 3.3.1.3

Bringe $11$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $\frac{1}{36}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} + \frac{1}{36}$

Schritt 3.3.2.2

Um $\frac{11}{54}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36}$

Schritt 3.3.2.3

Um $\frac{1}{36}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $108$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{11}{54}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{54 \cdot 2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.2.4.2

Mutltipliziere $54$ mit $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{36}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{36 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.4.4

Mutltipliziere $36$ mit $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{108}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2 + 3}{108}$

Schritt 3.3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.6.1

Mutltipliziere $11$ mit $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{22 + 3}{108}$

Schritt 3.3.2.6.2

Addiere $22$ und $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{25}{108}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{11}{108} x) + \frac{25}{108}$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{11}{108} x + \frac{25}{108}$

Schritt 4