Analysis Beispiele

$y = \sec (x) - 2 \cos (x)$ , $p = (\frac{π}{3}, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{3}$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sec (x) - 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sec (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - 2 (- \sin (x))$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\sec (x) \tan (x) + 2 \sin (x)$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 1.5.1.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 1.5.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.5.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Schritt 1.5.2

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $3 \sqrt{3}$ und einen gegebenen Punkt $p = (\frac{π}{3}, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = 3 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{3}$ in den Zähler.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Schritt 2.3.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 (\sqrt{3}) \frac{- π}{3}$

Schritt 2.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Schritt 2.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π)$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π) + 1$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Entferne die Klammern.

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1 π + 1$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3} π + 1$

Schritt 2.3.3.2.2

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$y = 3 \sqrt{3} x - \sqrt{3} π + 1$

Schritt 3