Analysis Beispiele

$y = 5 x^{3} - 5 x$ at the point $(1, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{3} - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$15 x^{2} - 5 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$15 x^{2} - 5$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$15 {(1)}^{2} - 5$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$15 \cdot 1 - 5$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$15 - 5$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $5$ von $15$ .

$10$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $10$ und einen gegebenen Punkt $(1, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 10 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 10 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 10 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $10 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 10 x + 10 \cdot - 1$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$y = 10 x - 10$

Schritt 3