Analysis Beispiele

$f (x) = (1 - x) {(x^{2} - 2)}^{2}$ ; $(2, - 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = - 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 - x$ und $g (x) = {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}] + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 2$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 2$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 - x) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 2$ .

$(1 - x) (2 (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 - x$ .

$2 \cdot (1 - x) (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2] + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (2 x + 0) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (2 x) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.3.11.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x - 1 \cdot {(x^{2} - 2)}^{2}$

Schritt 1.3.11.3

Schreibe $- 1 {(x^{2} - 2)}^{2}$ als $- {(x^{2} - 2)}^{2}$ um.

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 \cdot 1 + 4 (- x)) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(4 + 4 (- x)) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(4 - 4 x) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Schritt 1.4.4

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $(4 - 4 x) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$ heraus.

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Schritt 1.4.4.1

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $(4 - 4 x) (x^{2} - 2) x$ heraus.

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x) - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Schritt 1.4.4.2

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $- {(x^{2} - 2)}^{2}$ heraus.

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 2) (- (x^{2} - 2))$

Schritt 1.4.4.3

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 2) (- (x^{2} - 2))$ heraus.

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 2))$

Schritt 1.4.5

Stelle die Faktoren von $(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 2))$ um.

$((4 - 4 x) x - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

Schritt 1.4.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x - 4 x \cdot x - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

Schritt 1.4.6.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.6.2.1

Bewege $x$ .

$(4 x - 4 (x \cdot x) - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

Schritt 1.4.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(4 x - 4 x^{2} - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

Schritt 1.4.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} - - 2) (x^{2} - 2)$

Schritt 1.4.6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} + 2) (x^{2} - 2)$

Schritt 1.4.7

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$(4 x - 5 x^{2} + 2) (x^{2} - 2)$

Schritt 1.4.8

Multipliziere $(4 x - 5 x^{2} + 2) (x^{2} - 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$4 x \cdot x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.4.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.9.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.9.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.4.9.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.4.9.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.4.9.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{2 + 1} + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.4.9.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$4 x^{3} + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.4.9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.4.9.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.9.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 (x^{2} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.4.9.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{2 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.4.9.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.4.9.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.4.9.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x^{2} - 4$

Schritt 1.4.10

Addiere $10 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} + 12 x^{2} - 4$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$4 {(2)}^{3} - 8 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 \cdot 8 - 8 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$32 - 8 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$32 - 16 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

Schritt 1.6.1.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$32 - 16 - 5 \cdot 16 + 12 {(2)}^{2} - 4$

Schritt 1.6.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $16$ .

$32 - 16 - 80 + 12 {(2)}^{2} - 4$

Schritt 1.6.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$32 - 16 - 80 + 12 \cdot 4 - 4$

Schritt 1.6.1.7

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$32 - 16 - 80 + 48 - 4$

Schritt 1.6.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.6.2.1

Subtrahiere $16$ von $32$ .

$16 - 80 + 48 - 4$

Schritt 1.6.2.2

Subtrahiere $80$ von $16$ .

$- 64 + 48 - 4$

Schritt 1.6.2.3

Addiere $- 64$ und $48$ .

$- 16 - 4$

Schritt 1.6.2.4

Subtrahiere $4$ von $- 16$ .

$- 20$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 20$ und einen gegebenen Punkt $(2, - 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 4) = - 20 \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 4 = - 20 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 20 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 4 = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 4 = - 20 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 4 = - 20 x - 20 \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 2$ .

$y + 4 = - 20 x + 40$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 20 x + 40 - 4$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $4$ von $40$ .

$y = - 20 x + 36$

Schritt 3