Analysis Beispiele

$y = \sqrt{2 x + 1}$ , $(4, 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 1}$ als ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.7.3

Bringe ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.12

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Schritt 1.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.13.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Schritt 1.13.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $2$ .

$\frac{2}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.14

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$\frac{1}{{(2 (4) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.15

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.15.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{{(8 + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.15.2

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.15.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.15.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.15.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.15.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.15.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3^{1}}$

Schritt 1.15.6

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(4, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = \frac{1}{3} \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = \frac{1}{3} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{3} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 3 = \frac{1}{3} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 4$ .

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 3 = \frac{x}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 3$

Schritt 2.3.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4 + 3 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4 + 9}{3}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 4$ und $9$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{3}$

Schritt 3